离死亡还有 往生已逝的放废话的空间 20120519

往生已逝的放废话的空间

往生已逝のゴミ言葉箱【心跳回忆百科全书建设中】

概率论感觉测试

文科生之所以为人不齿,甚至难以沟通的很大一部分原因就是他们完全没有逻辑思维。
诸如以下的这些概率小问题,即便不靠直觉,他们思考后的结论也基本和现实大相径庭。
一群文科生位居着这个国家众多的公务员席位,简直是亡国的序曲。

===================以上为私货感想=======================
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===================以下为原文=====================

所有大学生都应该学的两门课程,一是经济学,二是概率论,这两门课分表代表着一种生活中的思维方式。来测试一下你的概率论学得怎么样吧。题目作者: wzz12346@newsmth, 原发Mathematics@newsmth。解答亦来自wangzz。题目顺序和答案经过调整。
如果有题不会的话,就用你的直觉吧,看看最后你的直觉与真实的概率相差有多大。
解答颜色为白色,在每个题目下面,选中即可显示。
在打桥牌的时候,如果你和对家共持有某门花色的9张牌,则剩余的4张牌怎样分布的概率最大
A. 2-2
B. 3-1
C. 4-0
B. 可以简单计算得到这个结果。3-1的概率应该是50%。2-2的概率是37.5%。4-0的概率是12.5%。

如果有3个门,有一个背后有大奖。你选中一个,主持人知道哪个门后面有奖,并且总会打开另外两个中的某个没奖的。现在你有一次换得机会,你应该
A. 换
B. 不换
C. 换不换都一样
A,三门问题,详细情况见三门问题及相关

100个球随机的放在100个箱子里,最后空箱子的数量大约是
A. 0-10
B. 10-20
C. 20-30
D. 30-40
D. 这个题可以用简单的概率论计算。结论是不管多少个球,c*n个球放到n个箱子里,最后空箱子的个数约为n(1−1/n)cn=ne−c,现在的情况是箱子数和球数一样多,那么就约为100e−1.

打10000副拱猪,总共持有9500-10500个A的概率大约在
A. 80%-90%
B. 90%-95%
C. 95%-99%
D. 99%以上
D. 这个可以用中心极限定理计算。事实上这个题也不需要计算,只是要考察大家的一个感觉,实际上这个概率大于0.99...9,一共有9个9。不过有时候我们打牌仍然觉得牌总是很差。

台湾大选,假定马英九最终得到600000票,谢长廷得到400000票,如果一张一张的唱票,则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为
A. 0.1
B. 0.2
C. 0.3
D. 0.4
直觉上讲这个概率并不会太大,而且尤其是在前面几张的时候多少会出现一些反复。实际上这个结果跟一共多少人投票没什么关系,如果得票比例为a:b (a>b),则这个概率为(a-b)/(a+b)。

有以下几个国家,每个国家有自己的习俗。问哪个国家长期以后男人的比例最大
A. 每个家庭不断的生孩子直到得到第一个男孩为止
B. 每个家庭不断的生孩子直到得到第一个女孩为止
C. 每个家庭不断的生孩子直到得到一男一女为止
D. 以上几个国家最后男女比例基本一样
D. 我们只需要考察一个家庭最后产生多少男女即可以。用概率的方法可以得到不管哪个方法都是1:1。事实上,我们只是把一个很长的男女的序列按照不同的方式来截断。当然这个序列本上包含多少男女是不变的。我每次都愿意以另外一个例子来说明,那就是如果我们在网上下棋,可以每天下到第一盘输为止或是第一盘赢为止或是有输有赢为止,显然不管怎样,因为你的实力是恒定的,你永远都是你本来应有的胜率。

给一个1到100的排列,与原来位置相同的数字的个数的期望大约是 (如1到5的排列51324 与原来位置只有3是相同的)
A. 1
B. 5
C. 10
A. 在第1个位置,这个排列的第1个数字为1的概率为1/100,而期望是可加的,所以总共与原来位置相同的数字的个数的期望应该是1。也就是说不管是多少的数字,平均恰好有一个数与顺序是相同的。

美国的25分硬币共有50种,上面有50个州的图案,如果我们每次得到的硬币是随机的,则期望大约收集多少可以收集全
A. 200
B. 300
C. 400
D. 500
A. 这是所谓的收集硬币问题。具体解法不是很容易。不过结论是要收集齐n种硬币,需要大约∑ni=1ni=nlogn个。

假设有1000次100m短跑大赛,每次比赛的冠军成绩都在9.7-10之间均匀分布,问期望有多少次比赛打破了之前的纪录
A. 7
B. 10
C. 15
D. 32
A. 假设均匀分布,则最后n次比赛之后这n个成绩形成一个排列。第k次创纪录的概率是这个排列中第k个在前k-1个之前的概率,也即1/k,所以n次比赛大约有1+1/2+1/3+...1/n=logn次破纪录。

扔10000次硬币,其中最长一次连着正面的次数大约会是多少
A. 100
B. 13
C. 9
D. 4
B.这也是一个特殊的概率问题,叫做Head Runs。答案应该是logn2。大约为13。或者大于13是显然的,但不太可能有100。所以必定是选B。

以下那件事情发生的期望时间最短
A. 在第0秒,一个物体从原点出发,每一秒以概率1/2向左走,1/2向右走,第一次回到原点的时间
B. 一只猴子,每秒种随便按键盘上的一个键,第一次打出"Beijing Welcomes You"的时间
C. 在第0秒,一个物体从原点出发,每一秒以概率1/2向左走,1/2向右走,第一次到达1的时间
B. A和C两个事件发生的时间的期望都是+inf. 只有B是有限的。A和C说明了等概率的赌博不可能赢钱(如果C是有限的则参加赌大小的游戏总能赢钱了)。而B说明的是另外一条概率上的定理,"What always stands a reasonable chance of happening will almost surely happen, sooner rather than later",也就是说从任何时刻开始,总有一个固定的概率发生的事情(比如一个猴子打出beijing welcomes you, 这个概率可能是 1/26^20左右),不过这个概率是多少,这件事情早晚能发生。

如果一个物体在3维随机游动,也即每一刻他可以向左,右,上,下,前,后等概率的走,长久来看,则会发生什么情况
A. 此物体无穷多次回到原点
B. 此物体无穷多次回到任何一条坐标轴上,但不会无穷多次回到原点
C. 此物体不会无穷多次回到任何一条坐标轴上
B. 1维和2维的随机游动是常返的,也就是说会无穷多次回到起点(但回来的平均时间期望是无穷的),而3维以上的随机游动是非常返的。因此对于2维德某改革坐标,此物体会无穷多次经过,但是不会无穷多次经过原点。对一个完全没有方向感的人,在平面上不会迷路,但在宇宙中是会迷路的。

一支股票,初始价为1,每天的价值变化率独立同分布,且期望为0,不恒为0。则
A. 股票在任何时刻期望价值为1
B. 股票以概率1变成0
C. A和B都对
D. A和B都不对
C. 也就是说对于很多投机的东西,平均值总是不变的,但是多数人都会倾家荡产。其实仔细想想很有道理,比如说你的股票第一天涨10%。第二天跌10%或是第一天跌10%,第二天涨10%,最后的结果都是跌了1%。所以要保持增长所需要的是远大于0的平均变化率,这个才是一般人难以做到的。

如果一个群体里,每个个体以0.2的概率没有后代,0.6的概率有1个后代,0.2的概率有两个后代,则
A. 这个群体最后会灭绝
B. 这个群体最后将稳定在一个分布,即种群大小在一定范围内震荡
C. 这个群体最后将爆炸,人口将到无穷
D. 不一定会发生什么
A. 这是个简单的人口模型。这个可能直觉比较困难,但是这个实际上和上次的一道题是一样的。注意到每一代的期望总是1。因此根据上次的答案,这个群体最后会灭绝。对于这种模型,当每一代的期望小于等于1时,最后的结果都是会灭绝。对于期望大于1的情况,我们也可以很简单的通过解方程得到灭绝的概率。

当我们考虑一种可能重复发生的事件时,哪种方式更科学
A. 按照第一次发生这个事件的时间作为一个起点,考虑从其本身出发之后的性质
B. 按照最后一次发生这个事件的时间作为一个起点,考虑从其本身出发之后的性质
C. 以上都可以
D. 以上都不可以
A. 这个问题深一些的背景在于Kolmogorov向前向后微分方程。很多人知道向后微分方程更通用,但是并不知道原因。事实上,向后微分方程是基于A的方法对事件进行分解得到的,而向前微分方程是基于B的方法对事件进行分解的。但是有很多重复发生的事情会越发生越频繁,以致没有最后一次发生的事件。但是我们总能找到第一次发生的时间。所以A更科学。

实验室测试灯泡的寿命,在灯泡不断的换新灯泡。灯泡寿命约为1小时。考察10000小时时亮着的那个灯泡
A. 那个灯泡的寿命期望也约为1小时
B. 那个灯泡的寿命期望约为其他灯泡的2倍
C. 那个灯泡的期望寿命约为其他灯泡的1/2
D. 以上说法都不对
B. 这个题可能是稍难的。如果具体的算需要一点本科高年级的知识。不过我们仍然可以从直觉得到结果。事实上,当每个灯泡或是我们观测的事物的生命是随机的时候。在时间足够久以后的一点,那个事物的寿命要长于这个事物本身平均的寿命。因为正是因为它寿命长导致我们容易观测到。简单的说,如果灯泡有两种,一种只能坚持1小时,一种能坚持100小时,那我们在后面观测到的99%都可能是100小时那个。所以观测到的平均寿命较长。通常我们认为灯泡的寿命是指数分布的,在这个情况下,答案是2倍。对于一般的分布,甚至有可能平均寿命有限,而观测的那个寿命期望是无限的。这个问题在美国一次监狱调查中被发现,即被调查的囚犯的平均判刑年数要远大于全美平均判刑的年数
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