离死亡还有 往生已逝的放废话的空间 20120614

往生已逝的放废话的空间

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无穷势:阿列夫

我没怎么写过科普文
今天试试看,起因是前天跟女人解释“无穷的大小”

这个过程中涉及到了无穷势,最小的无穷势是阿列夫0,次大的是阿列夫1,以此类推
既然是科普,不讲那些索然无味的东西,只要知道无穷和无穷之间也是有大小之分的,尽管可能直观感觉不出。

阿列夫0是最基本的无穷,是整数个数的无穷,自然数个数的无穷,有理数个数的无穷,我们一般平时说的无穷大在文学上的定义其实基本都是阿列夫0.

阿列夫1和阿列夫0之间有没有中间的势,目前还是猜想,无人证明,我们按照通行认为阿列夫1就是第二小的好了。
阿列夫1是实数的无穷,换言之多了一个无理数的集合。
感性的说:无理数比有理数要多,而且是多的多。事实上在数轴上,有理数“几乎填满了整个数轴”但占据所有的数轴的比例依然是0,换言之我们随便扔一根针到数轴上,刺中有理数的概率严格是0。
(但依然有可能刺中的,概率为0的事件一样可能发生哦)

阿列夫1有多大呢,硬要打个比方,假如阿列夫0的无穷大小是N,阿列夫1的这个无穷大小就是2^N这么大。
有同学说这不是显而易见的么,2^5肯定比5大啊,这是常识啊。
不不,常识不是这么用的,最起码简单的多少比较在无穷面前是不通用的,
最简单的例子就是有理数和自然数的一一对应,高中课本应该是有介绍的。

事实上,自然数显然是有理数的一个“小的可怜小的不能再小的子集”,
我们面前如果是一坨有理数,我们抽出来一个数字,它是自然数的概率也严格是0。
(但依然有可能抽出的,概率为0的事件一样可能发生哦)
但它们之间依然是一一对应的,换言之它们的数量是相同的。

那么回到阿列夫1上,为什么同是无穷,阿列夫1就要比阿列夫0大?
一般来说,证明不等的时候最简单的方法是采用反证法。

由上文的定义,阿列夫1是2^阿列夫0。
恰好,一个有N项的集合(1,2,……N)它的所有子集数量也正好是2^N
比如(1,2,3)的子集就是(空)(1)(2)(3)(1,2)(2,3)(1,3)(1,2,3)
换言之其实是每个元素取与不去的所有可能,因为有N个元素所以恰好是2的N次方。

我们假设阿列夫0=阿列夫1
于是(1,2,3,4……N)的元素个数(阿列夫0)
与其所有子集(1)(2)(1,2)(1,2,5)………………的个数(阿列夫1)刚好相等,一一对应。
那么我们蛋疼的真的把他们一一对应的写出来
1====(1)
2====(2)
3====(1,2)
4====(1,2,5)
………………


我们用写的当然写不完,只是表达这么一个对应关系
于是在上文里,每个元素An都对应了一个子集Bn
那么,Bn毕竟是个集合,里面到底有没有An呢,这个每个Bn里当然都不一样。
上面的对应关系里,
1对应的B1里刚好有1
B2里刚好有2
B3里没有3
B4里没有4
………………

我们把所有这种集合Bn里没有元素An的情况,所有的An都列出来。
3,4,……14563,23151,………………
这些An也构成了一个集合,是Bn其中一个,我们管这个集合叫Bx好了。
Bx=(3,4,……14563,23151,………………)

现在的矛盾问题在于:
Bx所对应的那个元素Ax
到底在不在Bx这个集合里呢。

假如说在的话,那么Ax就是集合Bx中的其中一个元素
别忘了我们的Bx是怎么来的,是所有的【这种集合Bn里没有元素An的情况】的An的集合。
换言之,Ax对应的Bx里面不应该有Ax的,不然它是怎么混进这个集合里的。

假如说不在的话,那么Ax就逃离了Bx的魔爪。
且慢,这样Ax就是一个满足【这种集合Bn里没有元素An的情况】的元素了,
为什么跑了出来?明明应该被抓进集合Bx里去的。

这里就产生了矛盾点。
换言之,阿列夫1是不能和阿列夫0一一对应的。

阿列夫2是所有曲线的数量的势,其大小也可以简单的说阿列夫2=2^阿列夫1
以此类推。

…………果然还是讲的太复杂了,我不适合科普。

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